《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出：“模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识。知道数学建模是数学与现实联系的基本途径；初步感知数学建模的基本过程，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。模型观念有助于开展跨学科主题学习，感悟数学应用的普遍性。.”

除了课标中提及的“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”，也包含了将“几何模型运用到实际问题的应用”。

因此与“模型观念”相关的项目式学习的类型在本文中主要涵盖以下三类：①与函数模型相关的综合与实践问题；②与方程、不等式相关的综合与实践问题；③与解三角形相关的综合与实践问题。

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01

与函数模型相关的综合与实践问题

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思路点拨：2024北京第25体现了三种函数的表达方式：解析法、表格法和图像法，综合利用这三种方法解决问题。本题的第(1)问通过表格的数据可以发现V和h1之间呈现正比例关系，因此可以通过解析法补全表格；本题的第(2)问通过描点法可以作出V关于h1和h2的图像；本题的第(3)问通过图像法，根据点所在的位置进行估算。

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除此以外，吉林23题则根据两个数据之间的线性关系表示出一次函数关系。

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思路点拨：2024吉林第23结合图③和表格可以发现y与x之间是一次函数的线性关系。因此本题的第(1)问设出一次函数的解析式，利用待定系数法求解；本题的第(2)问令y=213，代入解析式即可求出x的值。

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02

与方程、不等式相关的综合与实践问题

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思路点拨：2024深圳第17题以项目式学习的方式呈现了三个任务。任务1通过素材建立L关于n的表达式，这是比较典型的利用代数推理寻求数据规律的问题；任务2只需要将2.6代入任务1中的表达式即可求出一列购物车的数量；任务3中不妨设直立电梯和扶手电梯分别运输m次和n次，根据“最多用5次”，“运输100辆购物车”建立不等关系，进而确定运输方案的种类。

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对于一次方程和一次不等式，我们可以根据等量和不等关系求得取值范围；但是对于二次式，对于求最值，我们往往可以通过“配方法”，根据对称轴和定义域确定最值，比较典型的是江苏盐城的第26题。

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思路点拨：2024江苏盐城第26题也是以项目化的形式出现。任务1主要是建立y关于x的函数关系式，可以根据“正”服装总件数和“风”服装相等建立等量关系；任务2的难点在于“雅”服装的获利计算，同时需要注意定义域的取值范围是x>10；任务3通过将任务2的函数关系式进行配方，结合定义域和对称轴取得最值，同时需要注意y必须为整数。

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除此以外，广西第23题给出了4个变量间的数量关系，结合项目式的任务驱动进行分析和计算。

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思路点拨：2024广西第23题给出了衣服洗涤前后的浓度关系式。本题的第(1)问通过代入d前=0.2%和d后=0.01%，即可求出w(清水量)；第(2)问需要分两次计算，即已知两次的d前和w=2，求出两次的d后，进而进行比较；进而通过数据分析写出第(3)问的用水策略。

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03

与解三角形相关的综合与实践问题

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思路点拨：2024连云港第25题是以正八边形和解三角形展开的。问题1利用三角形的内角和和多边形的外角性质展开计算的。

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问题2在问题1的基础上，通过过点A1作BC的垂线，通过解△CA1D进行求解。

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问题3通过联结CA8交BM于点E，只需要通过求出BE的长度即可。在(2)的基础上，结合解三角形和三角形一边的平行线的性质定理进行求解。

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除此以外，长春22题通过几何模型衍生到生活实际问题中。在“类比推理思想”中，也有此类模型应用的影子。

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思路点拨：2024长春第22题以“如何求最小值引入”，通过题设中问题解决的脚手架将“双动点”问题转化为“单动点问题”，以“垂线段最短”求得最小值。本题的第(1)和第(2)问在【问题解决】的引导下，借助平行线的性质以及平行四边形的性质证明AM=MP，同时根据垂线段最短，通过解△ACP求得MN的最小值。

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本题的第(3)问虽然有实际问题的背景，但是问题解决的本质还是不变的。按照【问题解决】的路径重复应用即可。

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诸如此类的与“解三角形”相关的综合与实践问题可以关注“2023年的综合与实践问题”，本文中不再赘述。如下图所示是常见的解三角形的常见模型：

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04

教学和学习建议

课标同时指出：通过经历项目式学习的全过程。能综合运用数学和其他学科的知识与方法，在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题；能独立思考，与他人合作，提出解决问题的思路，设计解决问题的方案；能根据问题的背景，通过对问题条件和预期结论的分析，构建数学模型；能合理使用数据，进行合理计算，借助模型得到结论；能根据问题背景分析结论的意义，反思模型的合理性，最终得到符合问题背景的模型解答。

对于方程、不等式和函数类的综合与实践问题，需要抓住变量之间的数量关系，建立等量关系，从而建立模型；对于几何背景下的问题，需要善于应用解三角形的常见模型和方法进行突破，同时对于实际问题，需要将其转化为我们熟悉的几何图形，从而助力问题解决。

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